Математическое описание элементов ХТС

в современных программных продуктах.

 

МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ.

 Основная терминология

Модель — условный образ объекта исследования, конструируемый исследователем так,  чтобы  отобразить  характеристики объекта, существенные для исследования.

Моделирование — метод    исследования процессов или явлений на их моделях (математических или физических) или реальных установках.

Математическая модель - система математических выражений, описывающих  характеристики объекта моделирования.

Математическое моделирование - метод исследования процессов или явлений путём построения их математических моделей  и исследования этих моделей с помощью  ЭВМ.

Имитационное моделирование — метод математического моделирования, при котором используют прямую подстановку чисел, имитирующих внешние воздействия, параметры и переменные процессов, в математические модели процессов и аппаратов .

Основы моделирования

Моделирование как метод исследования технологических процессов включает в себя следующие основные этапы:

·          постановка цели моделирования

·        построение модели

·        проверка адекватности модели и внесение корректив

·         использование ее для исследования свойств и поведения объекта .

Одному и тому же объекту-оригиналу в зависимости от целей моделирования мо­жет соответствовать большое число моде­лей, отражающих разные его стороны .

При использовании теоретического под­хода  модель строится на основе соотношений, вытекающих из физических законов; при использовании  формального подхода — принципов «черного ящика».

Поэтому первый подход применяют в тех случаях, когда известны законы, которым подчиняются технологические процессы, протекающие в объекте моделирования, второй в случае отсутствия такой информации.

Детерминированные модели, построенные с использованием теоретического подхода, имеют ряд существенных преимуществ:

их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает проектировании;

они качественно более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте, даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели;

пригодны для обобщений, связанных с изучением общих свойств объектов определенного класса,  и для прогнозирования поведения объекта.

Если априорная информация об объекте моделирования не обладает достаточной полнотой или из-за его значительной сложности невозможно описать в виде модели все выходные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты объекта существенно, то принимают стохастическую модель.

Наиболее полное представление о поведении объекта дают динамические модели. Однако их использование приводит к довольно сложным вычислительным задачам, поэтому для объектов, инерционностью которых  можно пренебречь по сравнению с временным интервалом, на котором решается задача моделирования, или при сравнительно малом спектре возмущений ограничиваются статическими моделями. Когда можно пре­небречь   пространственной   неравномер­ностью переменных, используют модели с со­средоточенными переменными, в противном случае — модели с распределенными пере­менными. Последние можно построить толь­ко при использовании теоретико-физическо­го подхода. При этом вычислительная зада­ча еще больше усложняется.

 

Идентификация модели базируется на ис­пользовании активного или пассивного экспе­риментального метода. При активном экспе­рименте исследователь сам выбирает нужное регулярное воздействие, которое поступает на вход объекта. При этом фиксируется ре­акция объекта на регулярные входные воз­действия. При пассивном эксперименте ис­следователь лишь регистрирует случайные входные воздействия, возникающие при нор­мальной эксплуатации объекта, и реакцию объекта на эти воздействия.

Активные методы требуют меньше вре­мени на наблюдение и обработку результа­тов, чем пассивные, и поэтому их применяют  во всех случаях, за исключением тех, когда их использование вызывает трудности:

·        на объектах, где целенаправленное изме­нение входных воздействий недопустимо по условиям технологического регламента;

·        на объектах, у которых не удается на вре­мя эксперимента стабилизировать все внеш­ние возмущающие воздействия;

·        на объектах, имеющих высокий уровень шумов при невозможности выделить в вы­ходном сигнале объекта компоненту отклика объекта на входное  воздействие.

Итак, можно сказать, что модель нужна:

·        для того чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

·        для того чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

·        для того чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воз­действия на объект.

 

Теоретический метод построения  модели.

 

Методология построения математического описания выделяет шесть положений, которые должны соблюдаться.

          Первое положение требует, чтобы сначала была выделена  область ,для которой строится модель процесса..

Необходимо для рассматриваемого процесса выбрать такую область, для которой переменные  являются постоянными или изменяются немного в пределах области. Необходимо также определите границы этой   области.

Этой  областью может быть  реактор, сечение  реактора, часть реактора , газовый пузырек или капелька жидкости. Вообще модель всегда  упрощает реальную систему.

Так например, для реактора с мешалкой концентрации и плотность реагирующей массы  реактора однородны по всему объему. Это означает, что выходные свойства потока идентичны со свойствами содержания реактора.

Поэтому областью, для которой необходимо составить уравнения математического описания ,может служит сам реактор.

Полная масса в системе дается произведением  объема реактора V (м³)  на  плотность реагирующей смеси ρ (кг/м³). Таким образом  масса любого компонента А в реакторе определяется либо терминах фактической массы этого вещества или числа молей(грамм-молекул) в объеме V в виде  концентрации вещества  A (кг A/м³ или моль A/м³).

В случае трубчатого реактора концентрации продуктов и реагентов изменятся непрерывно по длине реактора даже, когда реактор работает в установившемся режиме. При этом концентрация в любом сечении реактора будет постоянная и это и есть тот регион ,для которого необходимо составлять уравнения математического описания.

Для некоторых процессов извлечения  широко используется представление о ступени процесса, которая и является соответствующей областью.

Второе  основное положение гласит:

          Необходимо идентифицировать транспортные потоки, которые текут поперек границы системы

После определения области, для которой составляется математическое описание  необходимо для нее идентифицировать все вводы(входы) и выводы(выходы). Это могут быть  физические расходы , диффузионные потоки, а  также потоки межфазной передачи.

На следующем  третьем этапе необходимо записать материальный (массовый баланс) в словесной   форме.

Например, материальный баланс можно записать в следующем виде:

 

 

Этот баланс, как уже было отмечено ранее, записывают или для всего аппарата в целом, или для  отдельного региона.

Различают материальные балансы:    а) по веществу,   б) общий.

Обобщенное уравнение  сохранения массы может также применяться к каждому химическому компоненту системы. Эти уравнения можно распространить также на атомный уровень и может  применяться к химическим элементам.

Если накопление вещества =0 , то это статический процесс. Если накопление вещества ¹0 , то это динамический процесс. 

На следующем  четвертом этапе необходимо представить каждый баланс в виде  математических выражений  с соответствующими  переменными.

Рассмотрим основные составляющие уравнений материального баланса.

Накопление вещества .Изменение  массы некоторого компонента в пределах системы может быть представлено в виде  производной массы по времени:

(Накопление массы компонента в системе )

=

,

 

где масса i-го вещества m_i выражено в кг или молях, а время в часах, минутах или секундах. Для любого компонента ,

где C_i - концентрация компонента i (кмоль/м³ или кг/м³).

Для  газов может использоваться уравнение Менделеева-Клайперона, которое связывает концентрацию с парциальным давлением  и мольной долей:      ,

где  p_i-парциальное  давление компонента i в пределах системы газовой фазы,

-число молей газа,

и R - константа идеального газа (в соответствующих совместимых с p, V,M и T единицах измерения). В терминах концентрации   

,

где y_i - мольная доля компонента в газовой фазе, и P - полное давление в системе .

Накопления для газовой фазы может быть написано в виде числа молей:

 

 

Для всей системы   можно записать:            .

Для описания процессов массопереноса используются законы молекулярного и конвективного переноса.

Конвективные потоки (конвективный перенос).

Конвективный поток полной массы оценивают как произведение объемного расхода  w и плотности  ρ:  .Конвективный поток для массы по компонентам:

Диффузия компонентов( молекулярный перенос).

Диффузионный поток в технических приложениях обычно выражаются в соответствии с законом  Фика для молекулярной диффузии  :.

где  является поперечным потоком любого компонента (кмоль/м²/с ) и  (кмоль/м³/ м )- градиент концентрации ,    -  коэффициент диффузии компонента  i (м²/с)

В соответствии с законом Фика  этот поток всегда направлен в сторону  уменьшения концентрации.

При истинной молекулярной диффузии,  константа диффузии равна молекулярному коэффициенту диффузии компонента i в системе. D.

 Для других случаев, типа диффузии в пористых материалах и для турбулентных приложений диффузии, используется эффективное значение ,которое должно быть определено экспериментально.

Вычисление массы диффузии требует знания площади поверхности S, через которую  она происходит .

Концентрационный градиент можно приближенно записать в виде:

 

 

Массопередача ( межфазный перенос).

Массопередача также может представлять возможный ввод(вход) или сток для рассматриваемой области. Для межфазного перехода из фазы  G в фазу L,который происходит поперек  через площадь поверхности S, которая отделяет две фазы, полный массовый поток  определяется формулой:

где, J - полный массовый поток (кмоль/сек.) ,S- полная площадь поверхности раздела для массообмена (м²). - концентрационная движущая сила (кмоль/м³), и K - коэффициент массообмена (м/c).

 Важно обратить внимание, что концентрационная движущая сила представляется  как разность между фактической концентрацией и равновесной..

Продукционные потоки. Так называемые продукционные продукты учитывают производство или расход вещества в  химической реакции и должны  быть включены в уравнения математического описания. Эти потоки определяются следующим образом: ,

где -скорость химической реакции по веществу А(кг/c),

 -количество вещества, которое образуется в единице объема(м³) реактора в единицу времени.

            На пятом этапе уравнения математического описания должны быть дополнены  соотношениями  для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных.

Эти соотношения определяют важные элементы ,которые определяются из эксперимента. Примеры этого типа отношений:

Константа скорости химической реакции  как функция концентрации и температуры.

Для примера приведем уравнение Аррениуса для константы скорости химической реакции:         ,

где        К₀ - предэкспоненциальный множитель.   

E- энергия активации

T-температура,K

R-универсальная газовая постоянная.

 Стехиометрические коэффициенты веществ, участвующих в химической реакции.

 Физические корреляции как функции концентрации, температуры и т.д.

Корреляции для коэффициентов массообмена.

В уравнение математического описания входят параметры модели ( эмпирические соотношения и эмпирические константы ), которые определяются по экспериментальным данным тем самым модель подстраивается под эксперимент.

На шестом этапе для более сложных моделей целесообразно создать диаграмму потока информации.

Как правило, динамический процесс описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, а статический процесс записывается в виде  системы обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений.

Уравнение теплового баланса.

Энергетический баланс необходим всякий раз, когда важны температурные изменения. Например, как это имеет место при химической реакции, когда  реакции вызывает изменение температуре в реакторной зоне.

Для энергетического баланса необходимо придерживаться тех же, сформулированных нами раннее принципов. Однако энергетические балансы значительно более сложны, из-за многих процессов, которые вызывают температурное изменение в химических системах. Рассматриваемые  здесь  вопросы несколько упрощены, но позволяют понять неизотермические примеры моделирования.

Энергетический баланс базируется  на законе сохранения энергии и на первом законе термодинамики. Внутренняя энергия зависит, не только от температуры, но также и от массы системы и ее составляющих.

По этой причине, материальный баланс  является необходимым фундаментом энергетического баланса.

Для открытой системы с энергетическим обменом поперек его границ энергетический баланс может быть написан как:

 

Количество накопленной энергии

=

Количество энергии во входных потоках

-

Количество энергии в выходных потоках

+

Количество энергии, полученное через поверхность

-

Количество энергии, унесенное через поверхность

 

Если накопление тепловой энергии =0, то это статический процесс.

Если накопление тепловой энергии    0, то это динамический процесс.

Количество накопленной энергии определяется так:

поскольку принято:    ,

где -число молей i-го вещества в входном и выходном потоке,

-удельная мольная теплоемкость i-го вещества в входном и выходном потоке

Количество энергии в конвективных потоках определяется следующим образом: ,

где -концентрация i-го вещества в входном потоке,

T_вх,T_вых- температура  входного и выходного потока.

Количество энергии, унесенное через поверхность :,

Где -коэффициент теплопередачи,

S-площадь поверхности теплообмена,

 

Определение теплового эффекта химического процесса.

 

Если теплота  j-ой реакции ,то количество теплоты ,образующееся в результате химического процесса:       ;

Например, для химического процесса:

 

Проверка адекватности модели.

 

Любая модель дает приближенное описание процесса функционирования объекта или системы. Поэтому необходима специальная процедура доказательства достоверности (адекватности) построенной модели. От решения задачи оценки адекватности зависит степень доверия к результатам, полученным методом моделирования.

Именно сложность доказательства адекватности предлагаемой модели принято считать важнейшим недостатком метода моделирования.

Фактически единственным, достоверным способом оценки в данном случае является проверка согласованности модели с накопленными знаниями о реальном объекте .

В частности, об адекватности модели можно судить по результатам полученных с ее помощью прогнозных данных.

Кроме того, при оценке адекватности проверяют:

1)     полноту отражения моделью свойств реального объекта;

2)     соответствие модели исходной информации;

3)      корректность принятых при моделировании допущений и ограничений; правильность используемых логических и математических соотношений (функций);

При необходимости в модель вносятся соответствующие коррективы.

Для того ,чтобы можно  было судить  об адекватности модели по результатам прогноза, при одних и тех же условиях замеряются некоторые экспериментальные данные Y_{iэ ,}(где i=1,2,...,n) , и при тех же условиях решаются уравнения  математической модели процесса и получают соответствующие значения  Y_im..По их расхождению и судят об адекватности модели в смысле прогнозирования. Например, для регрессионных моделей используют критерий Фишера .

На рис. представлена общая блок-схема построения математической модели процесса.

Рис.   Общая блок-схема построения математической модели процесса.

 

 

Любой процесс может быть записан в виде общего уравнения

массоэнергопереноса:

;

где j - потенциал переноса,  а V - конвективная   составляющая ,

 Gj  - компенсирующая составляющая, g j  -дополнительные источники или стоки потенциала переноса.

      - статический процесс ,              - динамический процесс.

Для однозначного решения этого уравнения необходимо задать 2 типа условий:

1.   Начальные условия  (временные краевые условия).

2.   Граничные условия (пространственные краевые условия).

Граничные условия задают потенциал переноса на всей ограничивающей поверхности, включая границы во все моменты времени, включая начальные.

Начальные условия задают распределение потенциала переноса во всей рассматриваемой области, включая границу в начальный момент времени.

 

Построение математических моделей элементов ХТС.

 

Построение модели начинается с выбора модели для гидродинамики. Можно предложить разные подходы к изучению структуры по­тока и влияния этой структуры на ход химических процессов. Наиболее полную информацию о структуре потока можно по­лучить, зная скорость жидкости в любой точке аппарата, т. е. по­лучив поле скоростей. Но при таком подходе встречаются труднопреодолимые препятствия. Прежде всего, чрезвычайно трудна экспериментальная задача измерения скоростей во всех частях потока. В любом аппарате имеются области, где  почти невозможно измерить скорость, не нарушив структуру потока. Знание поля скоростей лишь в принципе дает возможность решения практических задач. Чаще всего это решение оказывается настолько сложным, что львиной долей информации, которая заключена в данных о поле скоростей, воспользоваться не удается.

Поле скоростей — сложная трехмерная структура, описание которой долж­но содержать функции ,по меньшей мере трех координат.  Не стационарность (например, в турбулентном потоке) добавляет четвертую — время. Математическое описание поля скоростей  получается в виде систем дифферен­циальных уравнений в частных производных; решить такую систему даже с по­мощью современных ЭВМ удается лишь в простейших случаях.

Второй возможный подход —описание потока на основе распределения вре­мени пребывания.

Разработаны две модели идеальных потоков: идеальное вытеснение и идеаль­ное смешение.  Здесь отметим од­ну особенность этих моделей: они не содержат никаких парамет­ров, отражающих специфику структуры потока. Единственный па­раметр этих моделей—среднее время пребывания.

Для определения гидродинамической обстановки в аппарате во входящий поток  добавляют пор­цию какой-либо примеси, называемой   индикато­ром, или трассером. Ин­дикатор должен быть легко количественно определим. Кроме того, его добавление не должно влиять на характер потока (в частности, его следует вводить ма­ло, чтобы существенно не изменять расход), а сам он должен двигаться вместе с потоком, ни с чем не реагируя и не сорбируясь. Так, к потоку воды можно добавить немного кислоты или краси­теля, к воздуху—немного СО2 или  гелия.

На выходе из аппарата измеряют кон­центрацию индикатора Си как функцию t. Схема установки изобра­жена на рис. . Типичный график зависимости Си от t показан на рис.  В момент t=0 на входе ,например, резким импульсом вводится индикатор (рис. 13,3,а).На выходе (рис. 13.3,6) вначале Си=0: ни одна частица индикатора не успела дойти до выхода. В момент t1 выхо­да достигает самая быстрая часть потока, появляется индикатор. Далее его концентрация нарастает до момента  t2, а затем начи­нает убывать: основная масса потока прошла, выходят те части индикатора, которые попали в зоны циркуляции или застоя.

 

 

Рис. . Схема установки для измере­ния распределения времени пребывания:

1— ввод индикатора; 2 — вход в аппа­рат; 3 — выход из аппарата; 4 — датчик концентрации индикатора; 5 — самопи­шущий прибор.

Результаты эксперимента позволяют определить величину τ:

Время пребывания определяется по формуле:

 

 

 

 

       

 

 

             

                   t

 

 

      

Режим идеального смешения.

                                                    

                                                             

                                                                           t  

 

     

                                                    

 

                                                            Режим идеального вытеснения.                        

     

                                                                

 

                                                                             t

                                               

По экспериментальным данным можно решить одну их двух задач:

·        либо по известному объёму реактора V рассчитать расход жидкости W ,

·        либо по известному объёмному расходу  W - неизвестный объём.

 

Математическое описания

химического  реактора с мешалкой непрерывного действия

на основе модели идеального  смешения.

 

Химический реактор является одним из наиболее важных элементов химико-технологической схемы .

Модель химического  реактора с мешалкой непрерывного действия  базируется на допущении об идеальном перемешивании реагирующей смеси в зоне реакции, т.е. температура и концентрации компонентов одинаковы во всех точках реактора и на выходе из реактора.

 

 

 

 

Основным  назначением математического описания такого реактора   является определение из уравнения материального баланса и теплового баланса концентрации и температуры в выходном потоке.

          С точки зрения управления очень важно поддерживать заданное мольное соотношение реагентов на входе в реактор.

          Регулирование температуры осуществляется за счёт подачи хладагента в  охлаждающую рубашку реактора  и в змеевик.

          При превышении температуры выше допустимой , происходит прекращение подачи исходного вещества.

          Введем следующие обозначения:

- объём реактора;  .   -  объемный расход реагирующей смеси.

  -  концентрация  j-го вещества в реакторе и на выходе из него..

          Уравнения материального баланса для вещества  j можно записать  следующим образом:    ,

где   -накопление вещества в реакторе,

      - конвективный приток и сток вещества.

          -количество вещества образующегося в реакторе.

Если накопление вещества в реакторе , то это статический процесс, в случае    - это  динамический процесс.

Уравнение материального баланса можно записать в следующем виде:

,где среднее расчётное время пребывание жидкости в аппарате рассчитывается по  формуле:           

Концентрации веществ  измеряются в кмоль/м³.

Уравнение теплового баланса для реактора имеет вид:

Здесь:

          -накопление тепловой энергии в реакторе,

      - количество теплоты, входящей в реактор,

          - количество теплоты, выходящей из реактора ,

    - количество теплоты ,которое образуется в ходе реакции,

      - теплота, которая отводится из реактора с помощью хладагента.

Уравнение теплового баланса запишем в следующем виде:

,где

 

 

Построение математического описания кинетики химической реакции..

 

Рассмотрим процесс, состоящий из двух стадий химических реакций:

 Каждя стадия характеризуется константой скорости химической реакции .

                         

Вводится понятие скорость протекания стадий r₁ и r₂ и скорость протекания реакции по веществам R_A, R_B, R_C, R_D. Для каждой стадии r₁ и r₂ применим закон действующих масс, который гласит, что скорость стадий, пропорциональна концентрации исходных веществ в степенях, равных стехиометрическим коэффициентам.

            

Тогда , скорости химических реакций по веществу, будут иметь следующий вид:

    ;       ;       ;   

 

Понятие о ключевых  компонентах.

 

Для каждой химической реакции существует определённое число ключевых компонентов. Это те вещества, по скорости образования и расходования которых, можно судить о скорости образования всех веществ.

В рассматриваемом примере в качестве ключевых компонентов можно выбрать A и E.Тогда: ;  ;   ;   ; 

          Это обстоятельство важно учитывать при составлении уравнений материального баланса реакторов.

 

Исследование устойчивости  стационарных режимов

 химического  реактора с мешалкой непрерывного действия 

 

          Одной из важных характеристик химического реактора является его устойчивость- способность возвращаться к исходному стационарному состоянию после устранения внешних возмущений.

          Для исследования устойчивости стационарных режимов химического  реактора с мешалкой непрерывного действия   используют график зависимости тепловыделения и теплоотвода от температуры .

Рассмотрим это на примере протекания в реакторе с мешалкой реакции 1-го порядка  .

Из уравнения материального баланса  следует, что:

или с учетом того ,что ,получим:

График зависимости  R_A от T имеет следующий вид :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Запишем уравнение энергетического баланса  для стационарного режима в следующем виде:

Обозначим левую часть уравнения Q_R -  количество теплоты, выделяемого при протекании химической реакции в единицу времени, а правую - Q_T  количество теплоты, отводимого в единицу времени через рубашку реактора и с потоком. Запишем эти уравнения в другом виде:

или,

где       или      ,где

Выражение для расчета величины тепловыделения Q_R : . Выражение для  представляет собой уравнение прямой линии, причем Q_T растет с увеличением . Зависимость  и Q_R от T показана на рис. (рис.2.3).

 

 

Линии зависимостей Q_R и Q_T от температуры пересекаются в трех точках-1,2 и 3. В этих точках при различных температурах   T₁ ,T₂ ,T₃ процесс стационарен, т.к. соблюдается условие стационарности Q_R=Q_T .

Рассмотрим стационарный режим 3, который соответствует режиму работы при температуре T₃.

Пусть в результате  возмущения изменяется значение T₃ и произойдет увеличение ее на величину  . При этом за счет увеличения скорости реакции возрастает скорость выделения тепла. Одновременно, за счет увеличения разности температур между температурами в реакторе и теплоносителя возрастает скорость отвода теплоты. Дальше  точки 3 линия теплоотвода проходит выше, чем линия тепловыделения. Поэтому при температуре T₃+ отвод теплоты оказывается больше, чем  его выделение.

Поэтому после снятия возмущения  реактор начнет охлаждаться. Охлаждение будет продолжаться до тех пор, пока температура в реакторе не станет равной T₃. При этой температуре  отвода и выделение теплоты опять уравняются, и режим снова станет стационарным.

Если  же в результате возмущения  реактор начнет охлаждаться, то после снятия возмущения реактор снова начнет нагреваться до достижения в нем температуры равной T₃.

Таким образом, стационарный режим в точке 3 возвращается к исходному состоянию после снятия внешних возмущений, т.е. режим устойчивый.

Аналогична картина  наблюдается и в точке 1.

Теперь рассмотрим режим правее точки 2. Здесь  линия теплоотвода ниже, чем линии тепловыделения. При изменении температуры T₂ до величины   выделение теплоты становится больше, чем  теплоотвод. Поэтому после снятия возмущения реактор будет не охлаждаться, а нагреваться, удаляясь от исходного состояния.

Нагревание будет продолжаться до тех пор, пока снова скорость тепловыделения не станет равной скорости теплоотвода, т.е. реактор достигнет нового стационарного состояния - при температуре T₃. Аналогично, при отрицательных возмущениях реактор будет самопроизвольно охлаждаться до тех пор, пока не достигнет устойчивого стационарного состояния при температуре T₁.

Проведенный анализ показывает, что из трех возможных в данных условиях стационарных режимов только два:

1-при низкой температуре (и, соответсвенно, малой скорости реакции) и 3-при высокой температуре (и большой скорости реакции) являются устойчивыми, а третий - при промежуточных значениях температуры и скорости реакции (точка 2) - неустойчив.

 Условие устойчивости.

Условие устойчивости определяется соотношением теплоотвода и тепловыделения  и имеет вид:

 

Математическое описание  химического трубчатого  реактора

 непрерывного действия на основе модели идеального вытеснения.

         

          В соответствии с этой моделью принимается , что в реакторе реакционная масса движется равномерно, все частицы потока имеют одинаковую скорость, а распределение вещества и тепла в направлении, перпендикулярном движению потока, равномерно.

 

 

Рис.

На рис. представлен  реактор для хлорирования пентана.    Реакционное пространство этого реактора имеет вид длинного змеевика, обогреваемого  снаружи дымовыми газами.

 Запишем уравнение материального баланса.

 

 Статический режим :          

 

Уравнение теплового баланса для статического режима можно определить в следующем виде :    

 

  

 

где

,

    -удельная объемная теплоемкость,

       -площадь поверхности теплообмена в единице объема реактора.

При определенных условиях температура охлаждающей среды может быть постоянной или изменяться по длине реактора. В последнем случае:

              Знак ( + ) в формуле  соответствует прямотоку реагирующей смеси и хладоагента, а знак  (– ) противотоку.

Для гомогенных трубчатых реакторов ,имеющих значительную длину ,необходимо учитывать изменение давления в реакторе. Эта закономерность может быть представлена в следующем виде:

          В математическую модель трубчатого реактора входят также граничные и начальные условия.

          Начальные условия устанавливают значения концентрации и температуры в реакторе в начальный момент времени:

при t=0 для любых    = const = 0    (длина реактора)

Граничные условия определяют условия протекания процесса на входе в реактор:  при     для любого момента времени t   .

 

 

Модели неидеальных потоков.

Ячеечная модель—исторически первая.. Эта модель схемати­чески представляет реальный аппарат как некоторое число п оди­наковых последовательно соединенных аппаратов  (ячеек) идеального смешения (рис.) . Суммарный объем всех ячеек равен объему реального аппарата, следовательно, объем каждой ячейки равен V/п. Число ячеек—единственный параметр ячееч­ной модели.

Ячеистую модель очень удобно использовать для моделирования динамических режимов химических реакторов. Ячеистая модель - промежуточный режим между режимом идеального смешения и режимом идеального вытеснения.

n-  количество аппаратов , число ячеек.

 

         

Математическое описание таких процессов можно представить в  следующем виде:

 

      ;   для (1)

 

      ;  для (i)

 

     ; для (n) 

 

Упрощенные модели химических реакторов.

 

Стехиометрический  реактор . Эта модель применяется когда кинетика реакции неизвестна, но известны стехиометрические уравнения  стадий процесса  и известна степень превращения  для каждой стадии.  Общий вид уравнения реакции: 

 

где     a  -  стехиометрические коэффициенты (для исходных веществ   <0, для продуктов   >0);

- абсолютные значения стехиометрических коэффициентов

Обозначим количество исходных веществ (в мольных долях) m_j,0 ,а количество исходных ве­ществ в данный момент реакции — через m_j.

 Расчет нужно вести по степени пре­вращения одного, произвольно выбранного исходного вещества, на­пример К.

В соответствии со стехиометрическим уравнением получим зависимость мольной доли      веществ  от мольных долей компонентов исходной смеси:

 

Если известен состав смеси вводимых в реакцию исходных веществ и определена мольная доля одного из компонентов в некоторый момент времени, можно рассчитать для этого момента значение степени превращения, отнесённой к данному компоненту:

 

Когда реагирующая смесь содержит компонент, не участвую­щий в химическом превращении (например, катализаторы, раство­рители, инерты и т. д.), стехиометрический коэффициент для этого ком­понента равен нулю.

По этой методике можно рассчитать и более сложные реакции, состоящие из нескольких стадий. Применение уравнений для стехиометрических расчетов ил­люстрируется примером.

Пример. В установке для производства серной кислоты контактным способом  проходит реакция окисления     2 SO₂ + O₂ = 2SO₃. Газ, подводимый к контактному реактору окисления двуокиси серы, состоит из 10% SO₂, 11 % O₂ и 79 % N2 (проценты — объемные). Газ, покидающий реактор, со­держит 6,8% (объемн.)   O₂. Рассчитать степень превращения двуокиси серы и концентрации SO₃, SO₂ и N2 в газах после реакции.

Решение. Вычислим значение степени превращения двуокиси серы . Исходным веществом К будем считать SO₂ , за исходное вещество j примем O₂. Имеем:

 

 

Модель разделения . Реактор, когда стехиометрия и  кинетика   неизвестны или эти сведения незначительны, но известно  или можно задать  распределение концентраций для всех компонентов на выходе реактора.

Равновесный реактор . Химический реактор с двумя равновесными фазами пар и жидкость и с известными  уравнениями  стехиометрических  стадий химических реакций

Реактор Гиббса. Основан на  термодинамическом расчёте изменения энергии Гиббса и определения на этой основе константы равновесия. Используется в тех случаях, когда кинетика реакции неизвестна или известны стехиометрические уравнения  стадий процесса. 

Термодинамические расчеты дают возможность решать задачи, существенные для оценки химической концепции и проектирования технологического процесса:

1) расчет энергетических эффектов (теплота реакции, теплота изменения агрегатного состояния, работа сжатия и т. д.), необхо­димых для составления теплового баланса и определения коэффи­циентов расхода энергии;

2) расчет максимальных, теоретически возможных температур процесса;

3) расчет максимальных, теоретически достижимых степени превращения исходного вещества и выхода продукта химической реакции;

4) проведение предварительного выбора оптимальных условий осуществления процесса (определение температуры, давления, сте­пени превращения) как в случае одиночной реакции, так и при не­скольких одновременных реакциях.

Следует отметить, что выбор оптимальных условий проведения процесса, основанный на термодинамических расчетах, не оконча­тельный.